Question

（2013•聊城一模）已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

a 2 n+1 +3

a 2 n+1 -1

，数列{b_n}的前项n和为T_n，求证：T_n＜n+1．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式证明数列{

Sn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求前项n和为T_n，即可得出结论．

解答：（I）解：∵a_n=

Sn

+

Sn-1

，
∴S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）
∵a₁=1，
∴

S1

=1，
∴数列{

Sn

}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴

Sn

=n
∴S_n=n²
∴n≥2时，a_n=2n-1
n=1时也满足上式
∴a_n=2n-1；
（II）证明：b_n=

a 2 n+1 +3

a 2 n+1 -1

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=n+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n+1-

1

n+1

∵

1

n+1

＞0
∴T_n＜n+1．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．