Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.

(1)证明：平面；

(2)设点是线段的中点，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）取的中点为，连接,证明四边形为平行四边形即可证明平面；

（2）以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系. 利用空间向量求出二面角的余弦值.进而得到正弦值.

详解：

（1）证明：取的中点为，连接,

∵四边形是正方形, 分别是线段 的中点,

,且,

∴且,

∴四边形为平行四边形，

∴且平面，平面，

（2）解：平面，四边形是正方形，

两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.

则

.

设平面的法向量为，

则 得 可取

设平面的法向量为，则 得

可取

所以

所以二面角的正弦值为.