Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
①当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
②过点R（2，1）作直线l与轨迹C交于A，B两点，使得R恰好为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

解：①设点M（x，y），由，得，，
由，得，所以y²=4x．
又点Q在x轴的正半轴上，得x＞0．
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．
②方法一：设直线l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，
整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
由，解得：k=2．
所以，直线l的方程为y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3．
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
两式相减 得：．
整理得：，
因为R（2，1）为弦AB的中点，
所以y₁+y₂=2，
代入上式得，即k_AB=2．
所以，直线l的方程为y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3
分析：①设点M（x，y），由，得，，由，得，所以y²=4x．由此能求出点M的轨迹C．
②方法一：
设直线l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，由，解得：k=2．由此能求出直线l的方程为．
方法二：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，两式相减 得：．因为R（2，1）为弦AB的中点，所以y₁+y₂=2，由此能求出直线l的方程．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．