Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求点M的轨迹C；
（2）根据直线的倾斜角与斜率的关系，可证K_AE=-K_BE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换可得∠AED=∠BED

解答：解：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵

PM

=-

3

2

MQ

，

HP

•

PM

=0．
∴(x，y-y′)=-

3

2

(x′-x，-y)且（3，y'）•（x，y-y'）=0，-------------------（2分）∴x′=

1

3

x，y′=-

1

2

y，3x+yy′-y′2=0．∴y²=4x（x＞0）．-----------------（4分）
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）-（5分）
（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；-（6分）
②当直线l与x轴不垂直时，
依题意，可设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x-m) y2=4x(x＞0)

消去x并整理，得ky²-4y-4km=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4m．-----------（8分）
设直线AE和BE的斜率分别为k₁、k₂，则：k₁+k₂=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)( 4 k )+ 4m k

(x1+m)(x2+m)

=0．------（11分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED．
综合①、②可知∠AED=∠BED．-------------------------（12分）

点评：本题以向量得数量积的坐标表示为载体，考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．