Question

（2009•卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，
则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
①将（1）中的曲线C推广为椭圆：

x2

2

+y2=1，并
将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；
②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并
将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由

PM

=-

3

2

MQ

，得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

0，从而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，由

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，由此能求出M的轨迹C．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

，得ky²-4y-4k=0，故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²）由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
（3）①当k≠0时设直线l的方程为y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
②由题设，设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，所以|AB|=

2ab 1+k2

b2+a2k2

，同理|DE|=

2ab 1+k2

b2k2+a2

，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．

解答：解：（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由题设

PM

=-

3

2

MQ

，
得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

其中a≥0，从而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，且x≥0，
又由已知

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，
当b≠0时，y≠0，此时kHP=

b

3

，得kPM=-

3

b

，
又k_PM=k_PQ，故-

b

a

=-

3

b

，a=

b2

3

，即

1

3

x=

1

3

(-

1

2

y)2，y²=4x（x≠0），
当b=0时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为y²=4x，它表示以原点为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线；                                         （4分）
（2）由题设，可设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），又设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
则S=

1

2

|AB|•|DE|=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，当且仅当k=±1时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32．（9分）
（3）①当k≠0时可设直线l的方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，（12分）S=

4(1+k2)2

(1+2k2)(k2+2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

，
当且仅当k²=1时等号成立．（14分）
当k=0时，易知|AB|=2

2

，|DE|=

2

，得S=2＞

16

9

，故当且仅当k²=1时四边形ADBE面积S有最小值

16

9

．（15分）
②由题设，可设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，
消去x，整理得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，得|AB|=

2ab 1+k2

b2+a2k2

，
同理|DE|=

2ab 1+k2

b2k2+a2

，（12分）
则S=

1

2

|AB|•|DE|=

2a2b2(1+k2)

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

，其中k²＞0，
若令u=1+k²，则由v=

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

(1+k2)2

=

(a2u-c2)(b2u+c2)

u2

=a2b2+

c4

u

-

c4

u2

=-c4(

1

u

-

1

2

)2+

(a2+b2)2

4

，其中u＞1，即0＜

1

u

＜1，故当且仅当u=2，即k²=1时，v有最大值

(a2+b2)2

4

，由S=

2a2b2

v

，得S有最小值

4a2b2

a2+b2

，故当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为

4a2b2

a2+b2

．（17分）
又当k=0时，|AB|=2a，|DE|=2b，此时S=2ab，由

4a2b2

a2+b2

＜2ab，得当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为

4a2b2

a2+b2

．（18分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．