Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之间的关系，然后由S_△ADE=S_△ABC，结合面积公式可求x与AE的关系，从而可求
（2）由题意可得y=，利用基本不等式可求函数的最小值
解答：解：（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①…（2分）
又．②…（4分）
②代入①得），
∴y=（0x≤2）…（8分）
（2）如果DE是水管y=≥，…（12分）
当且仅当x²=，即x=时“=”成立，…（13分）
故DE∥BC且AD=时水管的长度最短（15分）
点评：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，及基本不等式在函数的最值求解中的应用，计算虽然简单，但是考查的内容具有较强的综合性