Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA₁，E是BC的中．

(Ⅰ)求异面直线AE与A₁C所成的角；

(Ⅱ)若G为C₁C上一点，且EG⊥A₁C，求二面角A₁－AG－E的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)取的中点，连，则∥， 　　∴或其补角是异面直线与所成的角． 　　设，则，． 　　∴． 　　∵在中，． 　　∴异面直线与所成的角为． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，．因为三棱柱是直三棱柱，∴平面，又∵ 　　∴．∴． 　　∴～．∴． 　　即得，所得是的中点． 　　连结，设是的中点，过点作于，连结，则．又∵平面平面 　　∴平面． 　　而，∴，∴是二面角的平面角． 　　由得． 　　即二面角的为． 　　∴所求二面角为． 　　解法二： 　　(Ⅰ)如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 　　设，则、、、、．∴， 　　∴． 　　∴异面直线与所成的角为． 　　(Ⅱ)设，则， 　　由得，知，∴． 　　设平面的一个法向量为，则， 　　∵， 　　∴，取，得． 　　易知平面的一个法向量，∴． 　　∴二面角的大小为．