Question

【题目】如图，椭圆 的右顶点为 ，左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为 的直线与 轴交于点 ，与椭圆交于另一个点 ，且点 在 轴上的射影恰好为点 ．

（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线与椭圆交于 两点（ 不与 重合），若 ，求直线 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， 轴，得到点
所以，所以椭圆 的方程是
（2）解：因为 ， 所以 ．
设 ，则 ，有
①当 斜率不存在， 的方程为 ，
或 ，(不合条件,舍去)
②当 斜率存在，由（Ⅰ）可知 ，设 方程为 ，
联立方程 得： ．
由韦达定理可得 ，将 代入可得 ，
即 ．所以 ．
所以直线 的方程为 或
【解析】（1）首先由条件得到直线AP的方程，根据“B和F1”的横坐标相同可得到B的坐标，代入直线AP，得到a，b，c一组关系；再由椭圆的性质a2=b2+c2得到一组关系；最后根据A点坐标，得到a=2，代入方程求解b，c的值。
（2）由上题已知A，B的坐标，面积之比为6，可以利用三角函数表示三角形的面积，将面积比转化为边长比，再转化为向量比，向量由点的坐标表示，可设出M，N的坐标和直线MN的方程；联立直线MN和椭圆，得到系数由k表示的一元二次方程，根据韦达定理得到x1和x2的关系，进而得到直线MN的斜率k。