Question

【题目】已知函数 ．
（1）若曲线 在 处的切线经过坐标原点，求 及该切线的方程；
（2）设 ，若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 （ ），
则 ，所以 ，
所以所求切线方程为
（2）解：令 ，得 ；令 ，得 ．　
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
而 在 上单调递增，所以 .
欲使函数 的值域为 ，须 .
①当 时，只须 ，即 ，所以 .
②当 时， ， ，
只须 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立，
令 ，得 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，所以 对一切 恒成立.
综上所述：
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，先求出原函数的导数，再根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（2）根据导数的应用先求出函数f（x）的值域、g（x）的值域，再根据分段函数F（x）的值域为一切实数，分类讨论可求出a的范围．
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．