Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为$\sqrt{2}$，倾斜角为45°的直线l过点F．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若过点$M（1，\frac{1}{2}）$的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且M点恰为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c=1，求出准线方程x=-1，可得与椭圆的一个交点，代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，求得直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
∴a²-b²=1 ①，
又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为$\sqrt{2}$，
∴得上交点为（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1②
由①代入②得2b⁴-b²-1=0，解得b²=1或b²=-$\frac{1}{2}$（舍去），
从而a²=b²+1=2，
∴该椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；                    
（2）点$M（1，\frac{1}{2}）$，代入椭圆方程，可得$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$＜1，即M在椭圆内，
直线AB与椭圆相交．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得，
x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
相减可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
可得直线AB的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-1，
即有直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即为2x+2y-3=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和点满足椭圆方程，考查直线的方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．