Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点P，则点P到点A的距离不大于1的概率为

1

6

π

．

Answer 1

分析：本题是几何概型问题，欲求点P到点A的距离小于等于1的概率，先由与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．

解答：解：本题是几何概型问题，
与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，
其体积为：V₁=

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
则点P到点A的距离小于等于a的概率为：

π 6

13

=

1

6

π．
故答案为：

1

6

π．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．考查几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．