题目内容

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1 和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(  )
分析:建立以D为坐标原点以DA,DC,DD1 分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,利用空间向量坐标求向量
AM
CN
 的夹角,从而可求直线AM与CN所成角的余弦值.
解答:解:
以D为坐标原点以DA,DC,DD1 分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),
B1(1,1,1).
因为M和N分别为A1B1 和BB1 的中点,
所以M(1,
1
2
,1
),N(1,1,
1
2
),
所以
AM
=(0,
1
2
,1)
CN
=(1,0,
1
2
)

所以

cos?<
AM
CN
>=
AM
?
CN
|
AM
|?|
CN
|
=
1
2
(
1
2
)
2
+1
?
(
1
2
)
2
+1
=
1
2
(
5
2
)
2
=
2
5

,所以直线AM与CN所成角的余弦值
2
5

故选A.
点评:本题主要考查空间异面直线所成角的大小,建立空间坐标系,利用向量法求异面直线所成的角,是一种比较简洁的方法.
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