Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  6

  ，1]
• B．[

  2

  13

  ，1]
• C．[

  1

  6

  ，

  4

  13

  ]
• D．[

  1

  6

  ，2

  2

  ]

Answer 1

分析：由基本不等式，算出函数y=

t

t2+9

在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，

t

t2+9

的最大值为

2

13

；根据二次函数的性质，算出t=2时

t+2

t2

的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[

2

13

，1]．

解答：解：∵函数y=

t+2

t2

=

1

t

+

2

t2

，在t∈（0，2]上为减函数
∴当t=2时，

t+2

t2

的最小值为1；
又∵

t

t2+9

≤

t

2 9t2

=

1

6

，当且仅当t=3时等号成立
∴函数y=

t

t2+9

在区间（0，2]上为增函数
可得t=2时，

t

t2+9

的最大值为

2

13

∵不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，
∴（

t

t2+9

）_max≤a≤（

t+2

t2

）_min，即

2

13

≤a≤1
可得a的取值范围是[

2

13

，1]

点评：本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．