Question

如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且.动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是            .（填上所有正确命题的序号）

①；
②当点为中点时，；
③若，则点有且只有一个；
④的最大值为；
⑤的最大值为.

Answer 1

①②④⑤

试题分析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
(1)则B（1，0），E（-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），所以
=，由图像可知，故①正确；
(2)当点为中点时， ，= ，所以=，
解得，则，故②正确；
(3)当λ=1，μ=1时，AP=（1，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，
当λ=,μ=时，AP=（1，），此时点P为BC的中点，满足λ+μ=2，
故满足λ+μ=2的点不唯一，故③错误；
(4)当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故④正确，
(5)==,
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤≤0，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1
故-2≤-λ+2μ≤1，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤≤0，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1，
综上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正确，