Question

16．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 24π
• C． 16π
• D． 18π

Answer 1

分析 翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2$\sqrt{2}$的正三棱锥O-ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．

解答 解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2$\sqrt{2}$的正三棱锥O-ACD，如图，
取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，
由题意知AE=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，AF=$\frac{2AE}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
OF=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，
且OG=AG=R，
∴由AG²=AF²+GF²，得：
R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$-R）²，
解得R=$\sqrt{6}$，
∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为S=4πR²=24π．
故选：B．

点评 本题四面体的外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、整体思想，是中档题．