题目内容
已知f（x）=
•
，其中向量
=(2cosx，-
sin2x)，
=（cosx，1）（x∈R）
（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=
，
•
=3，求边长b和c的值（b＞c）．
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=
| 7 |
| AB |
| AC |
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为1+2cos(2x+
)，由此求出最小正周期和单调减区间．
（2）由f （A）=1求得cos(2A+
)=-1，再根据2A+
的范围求出2A+
的值，从而求出A的值，再由
•
=3 和余弦定理求得b和c的值．
| π |
| 3 |
（2）由f （A）=1求得cos(2A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| AB |
| AC |
解答：解：（Ⅰ）由题意知：
f（x）=
•
=2cos2x-
sin2x=1+cos2x-
sin2x=1+2cos(2x+
)，
∴f（x）的最小正周期 T=π．…（4分）
由 2kπ≤2x+
≤2kπ+π，k∈z，求得kπ-
≤ x ≤ kπ+
，k∈z．
∴f（x）的单调递减区间[kπ-
，kπ+
]，k∈z，k∈z．…（6分）
（2）∵f （A）=1+2cos(2A+
)=-1，∴cos(2A+
)=-1，…（8分）
又
＜2A+
＜
，∴2A+
=π，A=
．…（9分）
∵
•
=3 即bc=6，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，7=（b+c）2-18，b+c=5，…（11分）
又b＞c，∴b=3，c=2．…（12分）
f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的最小正周期 T=π．…（4分）
由 2kπ≤2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的单调递减区间[kπ-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）∵f （A）=1+2cos(2A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵
| AB |
| AC |
又b＞c，∴b=3，c=2．…（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．
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