Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是．(2)

【解析】

（1）当时，，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得进而，放缩不等式为当时，，构造函数求解即可；法二：分离a问题转化为，求最值即可求解

（1）函数的定义域为，．

当时，，

令，则，

因为在上单调递增，且，

所以当时，；当 时，；

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以，即，仅当时取等号.

所以当时，；当时，；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）解法一.

由（1）知，

所以当时，，得，

当时，，

令，

由（1）知，，所以，满足题意.

当时，，不满足题意.

所以的取值范围是.

解法二：

由（1）知，

所以当时，，得，

由，得，

问题转化为，

令，则，

因为，（仅当时取等号），，

所以当时，；当时，；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以，

所以的取值范围是.