Question

【题目】已知函数，

（1）若函数有个零点，求的取值范围；

（2）若有两个极值点，且，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）将问题转变为，与有两个交点，利用导数得到图象，利用图象可求得结果；（2）根据有两个极值点，通过导函数图象构造不等式组，可求得的范围；再根据为的较大根，可求得且知；综合范围可求得的范围；构造函数，，则只需证即可证得结论；利用导数研究函数的单调性，求得时，的范围即可证得结论.

（1）令，故

若，函数无零点，不合题意

则

令，

则

当时，，

当时，，

作出函数的图像如图所示：

则时，与有两个交点

即时，有个零点

即的取值范围为

（2）由题意得：，

则

令

有两个极值点 ，解得：

则是方程的两根 ，

且

令，

则，

， ，使得

故当时，；当时，

即在上单调递减；在上单调递增

又，

当时，

函数在上单调递增

即