题目内容

已知a＞0，函数在x是一个单调函数，

   （1）求实数a的取值范围；

   （2）设，，且，试证明：

 

解析：(Ⅰ) ，

若在上是单调递减函数，则，即在上恒成立，

当时，，此时实数不存在

若在上是单调递增函数，则，即在上恒成立，

当时，，又， 

(Ⅱ) 用反证法证明：假设，则或，

又，，且由（Ⅰ）可知在上为单调增函数，

若，则矛盾，

若，则，即矛盾，      

故假设不成立，即成立.
练习册系列答案
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已知a＞0，函数f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
，g(x)=-ax+1，x∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]的极值；
（Ⅲ）若在区间(0，
1
2
]上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．
已知a＞0，函数f(x)=
x22
+2a(a+1)lnx-(3a+1)x．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）在（1）的条件下，若对任意x∈[1，2]，f（x）-b2-6b≥0恒成立，求实数b的取值组成的集合．
已知a＞0，函数f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
，g(x)=-ax+1
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在（-1，1）上的极值；
（Ⅲ）若在区间[-
1
2
，
1
2
]上至少存在一个实数x0，使f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．
（2012•湖北模拟）已知a＞0，函数f(x)=
a
x
+lnx-1（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设数列{an}的通项an=
1
n
，Sn是前n项和，证明：Sn-1＜lnn（n≥2）．

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