Question

（2012•湖北模拟）已知a＞0，函数f(x)=

a

x

+lnx-1（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项an=

1

n

，S_n是前n项和，证明：S_n-1＜lnn（n≥2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令其等于0，可得x=a．若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数；0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，故可得函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）先证明lnx＞1-

1

x

在[1，+∞）上成立，令x=

k+1

k

得  ln(k+1)-lnk＞

1

k+1

，再令k=1，2，3，…，（n-1），叠加，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数，令其等于0，即f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，∴f(x)min=f(e)=

a

e

；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在定义域的最小值为0，∴lnx＞1-

1

x

在[1，+∞）上成立
令x=

k+1

k

得  ln(k+1)-lnk＞

1

k+1

令k=1，2，3，…，（n-1），可得ln2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，lnn-ln(n-1)＞

1

n

∵数列{a_n}的通项an=

1

n

，S_n是前n项和，∴叠加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导函数．