Question

已知a＞0，函数f(x)=

x2

2

+2a(a+1)lnx-(3a+1)x．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）在（1）的条件下，若对任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求实数b的取值组成的集合．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)，由已知f'（1）=3，能求出a的值．
（2）由f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)=

x2-(3a+1)x+2a(a+1)

x

=

(x-2a)[x-(a+1)]

x

，根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（3）当a=

3

2

时，f(x)=

x2

2

+

15

2

lnx-

11x

2

，由该函数在(0，

5

2

)上单调递增，知在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到，由此能求出实数b的取值组成的集合．

解答：解：（1）f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)，
由已知f'（1）=3，即2a²-a=3，2a²-a-3=0，
解得a=

3

2

或a=-1．…（2分）
又因为a＞0，所以a=

3

2

．…（3分）
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）
f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)=

x2-(3a+1)x+2a(a+1)

x

=

(x-2a)[x-(a+1)]

x

，
①当2a＞a+1，即a＞1时，
由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）．
②当2a＜a+1，即0＜a＜1时，
由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）．
③当2a=a+1，即a=1时f'（x）≥0恒成立（只在x=2a处等于0），
所以函数在定义域（0，+∞）上是增函数．…（7分）
综上：①当a＞1时，函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）；
③当a=1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）．…（8分）
（3）当a=

3

2

时，f(x)=

x2

2

+

15

2

lnx-

11x

2

，
由（2）知该函数在(0，

5

2

)上单调递增，
因此在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（10分）
又f(1)=

1

2

-

11

2

=-5，
若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，
应该有-5≥b²+6b，即b²+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，
因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（12分）

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的增区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、分类讨论思想、导数性质的合理运用．