Question

13．已知平面$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow{b}$|=1．若对任意的实数t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥1，求向量$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），cosθ＞0.$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$.$t\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{3}t-cosθ，-t-sinθ）$，由于对任意的实数t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥1，可得：${t}^{2}+tsin（θ-\frac{π}{3}）$≥0，于是$si{n}^{2}（θ-\frac{π}{3}）$≤0，解出即可．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），cosθ＞0.$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
$t\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{3}t-cosθ，-t-sinθ）$，
由|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥1，
∴$（\sqrt{3}t-cosθ）^{2}+（t+sinθ）^{2}$≥1，
化为：${t}^{2}+tsin（θ-\frac{π}{3}）$≥0，
∵对任意的实数t上式成立，
∴△=$si{n}^{2}（θ-\frac{π}{3}）$≤0，
∴$sin（θ-\frac{π}{3}）$=0，
∴$θ-\frac{π}{3}$=0，
解得$θ=\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积的运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．