Question

已知幂函数，且在上单调递增.
（Ⅰ）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（II）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（III）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解:（Ⅰ）由题意知 解得        
又  ∴或，分别代入原函数得.
（II）由已知得.                    
要使函数不单调，则，则.
（III）由已知，
法一：假设存在这样的正数符合题意，则函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为
因而，函数在上的最小值只能在或处取得
又，从而必有
解得
此时，，其对称轴
∴在上的最大值为符合题意．
法二： 由(1)知，假设存在这样的正数，符合题意，则函数
的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为 ，  
（1）当，且，即时，在上单调递减，
 ，则与矛盾，故不可能；               
（2）当，且，即时，有
得或（舍去）.
所以 ，此时，，符合题意
综上所述，存在正数，使函数在区间上的值域为

解析