Question

已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.

（1）求函数f(x);

（2）讨论F（x）=a的奇偶性.

Answer 1

（1）f(x)=x^-4.（2）①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数； ③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.  

解析:

（1）∵f（x）是偶函数，∴m²-2m-3应为偶数.                         2分

又∵f（x）在(0，+∞)上是单调减函数，

∴m²-2m-3＜0,∴-1＜m＜3.                                               4分

又m∈Z，∴m=0，1，2.

当m=0或2时，m²-2m-3=-3不是偶数，舍去；                              6分

当m=1时，m²-2m-3=-4;

∴m=1,即f(x)=x^-4.                                               8分

（2）F（x）=，

∴F（-x）=+bx³.                                      10分

①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；

②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；                                  12分

③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；

④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.                   14分

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