Question

若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

• A、4005
• B、4006
• C、4007
• D、4008

Answer 1

分析：对于首项大于零的递减的等差数列，第2003项与2004项的和大于零，积小于零，说明第2003项大于零且2004项小于零，且2003项的绝对值比2004项的要大，由等差数列前n项和公式可判断结论．

解答：解：∵a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，
∴首项大于零的递减的等差数列，
∴S4006=

(a1+a4006)×4006

2

=

a2003+a2004

2

×4006
＞0，
故选B
解析：
解法1：由a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，知a₂₀₀₃和a₂₀₀₄两项中有一正数一负数，又a₁＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a₂₀₀₃＞a₂₀₀₄，即a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0．
∴S₄₀₀₆=

4006(a1+a4006)

2

=

4006(a2003+a2004)

2

＞0，
∴S₄₀₀₇=

4 007

2

•（a₁+a₄₀₀₇）=4007•a₂₀₀₄＜0，
故4006为S_n＞0的最大自然数．选B．
解法2：由a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，同解法1的分析得a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，
∴S₂₀₀₃为S_n中的最大值．
∵S_n是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
∴

4 007

2

在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，S_n＞0的最大自然数是4006．

点评：本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，有数列的等差中项，等差数列的前n项和，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，对同学们来说有些抽象．