Question

若数列{a_n}是等比数列，a_n＞0，公比q≠1，已知lga₂是lga₁和1+lga₄的等差中项，且a₁a₂a₃=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(3-lgan)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得等比数列{a_n}的公比q=

1

10

，首项a₁=10，从而可求得{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=10^2-n，于是由裂项法可知，b_n=

1

n

-

1

n+1

，从而可求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答：解：（1）由题知2lga₂=lga₁+（1+lga₄），即：lga22=lg10a₁a₄，
则a22=10a₁a₄=10a12q³，
∵a₁＞0，q²＞0，
∴q=

1

10

．（3分）
又a₁a₂a₃=1，
∴a13q³=a13(

1

10

)3=1，
∴a13=1000，
∴a₁=10，（6分）
∴a_n=10×(

1

10

)n-1=10^2-n，（8分）
（2）b_n=

1

n(3-lgan)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与裂项法求和，考查对数的运算性质，属于中档题．