Question

函数f(x)= |1-

1

x

|（x＞0）．
（1）求f（x）的单调减区间并证明；
（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[

m

6

，

n

6

]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）按证明一个函数在某个区间上的单调性的基本步骤取点，作差，变形，判断即可．
（2）有（1）知f（x）在（0，1]减，在[1，+∞）上增，所以对[m，n]分三种情况①m，n∈（0，1]，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞），③m，n∈[1，+∞），来讨论即可．

解答：解：（1）f（x）的单调减区间为（0，1]（2分）
任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂（3分）
则f(x1)-f(x2)= |1-

1

x1

|-|1-

1

x2

|（4分）
=( 

1

x1

-1 )-( 

1

x2

-1 )=

x2-x1

x1x2

＞0（6分）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，1]上为减函数（7分）

（2）①若m，n∈（0，1]，则f（m）＞f（n）
∴

f(m)= n 6 f(n)= m 6

⇒

|1- 1 m |= n 6 |1- 1 n |= m 6

⇒

1 m -1= n 6 1 n -1= m 6

两式相减，得

n-m

mn

=

n-m

6

不可能成立（9分）
②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），则f（x）的最小值为0，不合题意（10分）
③若m，n∈[1，+∞），则f（m）＜f（n）
∴

f(m)= m 6 f(n)= n 6

⇒

|1- 1 m |= m 6 |1- 1 n |= n 6

；
∴

1- 1 m = m 6 1- 1 n = n 6

；∴m，n为1-

1

x

=

x

6

的不等实根
∴m=3-

3

，n=3+

3

综上，存在m=3-

3

，n=3+

3

符合题意．（12分）

点评：本题综合考查了函数单调性的判断和证明以及对函数单调性的应用，是一道不可多得的好题．