Question

“”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形的两个顶点及的中点处，，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与等距离的一点处建造一个医疗站，记点到三个乡镇的距离之和为．

  

（Ⅰ）设，将表示为的函数；

（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，延长交于点，由题设可知，，

，在中，，，又，；

（Ⅱ），令，则

，，

或（舍），当时，，所以最小，即医疗站的位置满足，可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短．