Question

【题目】已知函数(其中)，且曲线在处的切线与轴平行.

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若，试比较与1的大小关系．

Answer 1

【答案】（1）（2）的单调递减区间为（3）

【解析】

（1）推导出x＞0，f′（x）＝lnx+1﹣ax+1﹣a＝lnx﹣ax+2﹣a，由曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，得到f′（1）＝ln1﹣a+2﹣a＝0，由此能求出a．（2）由f（x）＝xlnxx2+1，令g（x）＝f′（x）＝lnx﹣x+1，则g（1）＝0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调减区间．（3）由x1+x2＝2，得x2＝2﹣x1，f（x1）+f（x2）﹣1＝f（x1）+f（2﹣x1）﹣1，令F（x）＝f（x）+f（2﹣x）﹣1＝xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）﹣x2+2x﹣1，0＜x＜2，F′（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，令G（x）＝F′（x），G′（x），由此利用导数性质能推导出f（x1）+f（x2）≥1．

（1）

由题意得

则，经检验成立，所以成立

（2）由（1）得：，定义域为，

令

则

当时，

当时，

则的最大值为

则对于任意的，都有

的单调递减区间为

（3）．

由得，，．

令，．

，

令，．

当时，，单调递增，即单调递增．

又，所以当时，，单调递减；当时，，递增．

所以，即，所以．