Question

已知一个直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，则其中最小内角的正弦值是

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：设A、B为锐角，且A＜B，C为直角，则sinC=1，sinB=cosA，由直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，知sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，设sinA=m，得m²+m-1=0，由此能求出最小内角的正弦值．

解答：解：不妨设A、B为锐角，且A＜B，C为直角，
则sinC=sin90°=1，sinB=cosA，
∵直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，
∴

sinA

sinB

=

sinB

sinC

，
∴sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，
设sinA=m，
则m=1-m²，
m²+m-1=0，
∴m=

5 -1

2

，或m=

- 5 -1

2

（舍）．
所以最小内角的正弦值是

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查三角函数与数列的综合运用，求直角三角形中最小角的正弦值．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用，注意三角函数恒等式的灵活运用．