题目内容

如图，已知椭圆C：6x2 + 10y2 = 15m2（m > 0），经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点.

 （Ⅰ）是否存在k，使对任意m > 0，总有成立？若存在，求出所有k的值；

 （Ⅱ）若，求实数k的取值范围.

（Ⅰ）椭圆C：

直线AB：y＝k（x－m）,                                                                          ，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0 

设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝，x1x2＝ 

则xm＝         

若存在k,使为ON的中点，∴

∴，

即N点坐标为．  

由N点在椭圆上，则 

即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－（舍）．

故存在k＝±1使    

   （Ⅱ）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）

＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2

＝（1＋k2）? 

由得

即k2－15≤－20k2－12,k2≤且k≠0

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为(-
6
，0)、(
6
，0)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．
（2012•崇明县一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）过点P（
2
，
6
），上、下焦点分别为F1、F2，向量
PF1
⊥
PF2
．直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点为m（
1
2
，-
3
2
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）记椭圆在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与区域D有公共点，试求m的最小值．
如图，已知椭圆
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)及两条直线l1：x=-
a
2
 
c
，l2：x=
a
2
 
c
，其中c=
a
2
 
-
b
2
 
，且l1，l2分别交x轴于C、D两点．从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被石轴反射后与l2交于点B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于（　　）
如图，已知椭圆E：
x2
100
+
y2
25
=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n为实数），求m+n的最大值．
精英家教网如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右准线分别为l1、l2，且分 别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，则椭圆的离心率等于（　　）
A、
6
-
2
2
B、
3
-1
C、
6
-
2
4
D、
3
-1
2

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