Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右准线分别为l₁、l₂，且分 别交x轴于C、D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l₂交于点B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，则椭圆的离心率等于（　　）

• A、

  6 - 2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  6 - 2

  4

• D、

  3 -1

  2

Answer 1

分析：如图所示，作法线FM交AB于点M，利用光线的反射性质及∠AFB=90°，可得∠AFB=∠BFM=45°．进而得到∠AFC=45°=∠BFD．于是得到Rt△ACF与Rt△BFD分别是等腰直角三角形．由于∠CAB=105°，可得∠BAF=60°．又|AF|=

2

|CF|，|BF|=

2

|FD|，及|BF|=

3

|AF|．即可得出椭圆的离心率．

解答：解：如图所示，
作法线FM交AB于点M，∵∠AFB=90°，∴∠AFB=∠BFM=45°．
∴∠AFC=45°，∠BFD=45°．
∴Rt△ACF与Rt△BFD分别是等腰直角三角形．
∴|AF|=

2

|CF|=

2

(

a2

c

-c)，|BF|=

2

|FD|=

2

|

a2

c

+c|．
∵∠CAB=105°，∴∠BAF=105°-45°=60°．
∴|BF|=

3

|AF|．
∴

2

|

a2

c

+c|=

3

•

2

|

a2

c

-c|，
化为(

3

-1)a2=(

3

+1)c2，解得

c

a

=

6 - 2

2

．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、光线的反射性质、等腰直角三角形及含60°角的直角三角形的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．