题目内容

如图，已知椭圆E：
x2
100
+
y2
25
=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n为实数），求m+n的最大值．
分析：（1）先求B、C的坐标，再利用四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和，即可得到结论；
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论：①AP平行与BC；②AB平行于CP，则kAB=kCP，求出直线CP的方程，与椭圆方程联立，即可求得P的坐标；
（3）设P（x，y），根据
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n为实数），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，进而可得m+n，利用三角换元，可求m+n的最大值．
解答：解：（1）将y=-4代入椭圆E：
x2
100
+
y2
25
=1，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和
∴S四边形ABCP=
6×(4+5)
2
+
6×(8+9)
2
=78
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论
①AP平行与BC，则y=5与A重合，所以舍；
②AB平行于CP，则kAB=
5-(-4)
0-(-6)
=
3
2
=kCP，
设直线CP的方程为y=
3
2
x+C，代入（6，-4）可得C=-13
∴直线CP的方程为y=
3
2
x-13，
与椭圆E：
x2
100
+
y2
25
=1，联立消元可得5x2-78x+288=0
∴x=6或
48
5

代入直线CP的方程为y=
3
2
x-13，可得y=-4或
7
5

∴P（
48
5
，
7
5
）；
（3）设P（x，y），∵
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n为实数），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=
1
9
y+
4
9
，n=
1
12
x-
y
18
+
5
18

∴m+n=
3x-2y+26
36

令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=
5
6
cosθ-
5
18
sinθ+
13
18
=
5
10
18
cos（θ+α）+
13
18
，所以最大值为
5
10
18
+
13
18
，
∴m+n的最大值为
5
10
18
+
13
18
．
点评：本题考查四边形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2
3
．
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（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范围．
（2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率是
2
2
，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F(2，0)，过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

 

如图，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点、在x轴上，离心率

（1）求椭圆E的方程；

（2）求的角平分线所在直线的方程.

 
如图，已知椭圆E：的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

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