Question

已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=n，即可求得a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由S_n+a_n=n，S_n+1+a_n+1=n+1，二者作差（后者减去前者）可得2a_n+1-a_n=1，整理可得a_n+1-1=（a_n-1），从而可知数列{a_n-1}是以为首项，以为公比的等比数列，于是可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）与已知可求得b_n=，利用错位相减法即可求得其n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n+a_n=n，
∴a₁=，a₂=，a₃=．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n，…①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，…②
②-①得2a_n+1-a_n=1，
即a_n+1-1=（a_n-1）．…（5分）
又a₁-1=-，
∴数列{a_n-1}是以为首项，以为公比的等比数列．…（7分）
∴a_n-1=（-）=-，
可得a_n=1-．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=1-，
∵b_n=（2-n）（a_n-1）=（2-n）[-]=，…（10分）
所以数列{b_n}的前n项和T_n=+++…+．…①
所以T_n=+++…+．…②…（12分）
①-②得T_n=+++…+-=-．
所以T_n=-．…（14分）
点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的判断及其通项公式的应用，突出错位相减法在求和中的应用，属于难题．