Question

5．已知函数f（x）满足f（a+b²）=f（a）+2f²（b）对a，b∈R恒成立，且f（1）≠0，则f（2012）=1006．

Answer 1

分析 本题利用赋值法解决，令a=b=0得：f（0）=f（0）+2f²（0）⇒f（0）=0；令a=0，b=1得：f（1）=f（0）+2f²（1），解得f（1）=$\frac{1}{2}$，令a=n，b=1得：f（n+1）=f（n）+2f²（1），{f（n）}构成一个等差数列，利用等差数列的通项公式即可求得结果．

解答 解：令a=b=0得：
f（0）=f（0）+2f²（0）⇒f（0）=0；
令a=0，b=1得：
f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$
令a=n，b=1得：
f（n+1）=f（n）+2f²（1），
当f（1）=$\frac{1}{2}$时
f（n+1）=f（n）+$\frac{1}{2}$
构成一个等差数列，则f（2012）=f（1）+2011×$\frac{1}{2}$=$\frac{2011}{2}$+$\frac{1}{2}$=1006，
故答案为：1006

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，考查了数列的知识．解答的关键是利用赋值法解决问题．