题目内容
在数列{an}中，a2=
，且（n-an）an+1=（n-1）an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
| 1 | 4 |
（Ⅰ）求a1，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
分析：（I）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论；
（II）根据（I）的结论，猜想an的表达式，再根据数学归纳法证明步骤，证明即可．
（II）根据（I）的结论，猜想an的表达式，再根据数学归纳法证明步骤，证明即可．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，∵a2=
，∴解得a1=1，
当n≥2时，an+1=
，得a3=
，a4=
． …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=
（n∈N*）．…（4分）
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n=1或2时，猜想显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N*且k≥2）时猜想成立，即ak=
，
那么当n=k+1时，ak+1=
=
=
，
所以，n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任意的n∈N*都成立．…（7分）
| 1 |
| 4 |
当n≥2时，an+1=
| (n-1)an |
| n-an |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 10 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=
| 1 |
| 3n-2 |
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n=1或2时，猜想显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N*且k≥2）时猜想成立，即ak=
| 1 |
| 3k-2 |
那么当n=k+1时，ak+1=
| (k-1)ak |
| k-ak |
(k-1)•
| ||
k-
|
| 1 |
| 3(k+1)-2 |
所以，n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任意的n∈N*都成立．…（7分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．