题目内容

已知向量
a
，
b
，
x
，
y
满足
a
=2
x
-
y
，
b
=
x
+
y
且|
a
|=2，|
b
|=1，
a
⊥
b
，则向量
x
，
y
的夹角的余弦值为
-
10
10
-
10
10
．
分析：设x和y 的夹角等于 α，由条件求得
x
=
a
+
b
3
，
y
=
2
b
-
a
3
．再由|
a
|=2，|
b
|=1求出|
x
|和|
y
|的值，再由
a
•
b
=0求得
x
•
y
=-
2
9
，即
5
3
•
2
2
3
•cosα=-
2
9
，由此求得cosα的值．
解答：解：设x和y 的夹角等于 α，∵
a
=2
x
-
y
，
b
=
x
+
y
，解得
x
=
a
+
b
3
，
y
=
2
b
-
a
3
．
再由 |
a
|=2，|
b
|=1，
a
⊥
b
，可得
x
2=
a
2+ 
b
2+2
a
•
b
9
=
4 + 1 +0
9
=
5
9
，
y
2=
a
2+4
b
-24
a
•
b
9
=
4 + 4-0
9
=
8
9
．
∴|
x
|=
5
3
，|
y
|=
2
2
3
．
再由
a
•
b
═（2
x
-
y
）•（
x
+
y
）=2
x
2-
y
2+
x
•
y
=2×
5
9
-
8
9
+
x
•
y
=0，可得
x
•
y
=-
2
9
．
即 
5
3
•
2
2
3
•cosα=-
2
9
，解得 cosα=-
10
10
，
故答案为-
10
10
．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（中数量积）已知向量
a
，
b
，x，y满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=0，且
a
=-
x
+
y
b
=2
x
-
y
，则|
x
|+|
y
|等于（　　）
A、
2
+
3
B、
2
+
5
C、2
D、5
已知向量
a
，
b
，
x
，
y
满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=0，且
a
=-
x
+
y
b
=2
x
-
y
，则|
x
|等于（　　）
已知向量
a
，
b
与x轴正半轴所成角分别为α，β（以x轴正半轴为始边），|
a
|=|
b
|=2，
a
-
b
=(
3
，1)，则cos2（α-β）=
-
1
2
-
1
2
．
（中数量积）已知向量
a
，
b
，x，y满足|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=0，且
a
=-
x
+
y
b
=2
x
-
y
，则|
x
|+|
y
|等于（　　）
A．
2
+
3
B．
2
+
5
C．2D．5

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