Question

如图1-4-16，在△ABC中,D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.

图1-4-16

Answer 1

思路分析:由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形.因此，可以过D作DE⊥BC，拓开思路.由于DE、AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.

解:在△ABC中，设AC为x，

∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理,得AC²=FC·BC，即BC＝x².?

再由射影定理,得AF²=BF·FC=(BC-FC)·FC，即.

∴ =x²-1.?

在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，?

∵BD ＝DC＝1，∴BE＝EC.?

又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.?

∴=.?

∴ =.?

在Rt△DEC中，∵DE² + EC² = DC²，?

即+=1²,∴+ =1.?

由=,  =,整理得x⁶=4.

∴.?

∴.