Question

12．某中学高三年级进行数学竞赛选拔考试，进人决赛的10人分布如下：从这10人中任选3人给高二年级学生进行竞赛指导．

班级	1班	2班	3班	4班
人数	2	3	1	4

（1）这3人分别来自不同班级的概率是多少？
（2）记这3人中来自2班的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）从这10人中任选3人给高二年级学生进行竞赛指导，先求出基本事件总数，再求出这3人分别来自不同班级包含的基本事件个数，由此能求出这3人分别来自不同班级的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）从这10人中任选3人给高二年级学生进行竞赛指导，
基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，
这3人分别来自不同班级包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}$=54，
∴这3人分别来自不同班级的概率p=$\frac{54}{120}$=$\frac{9}{20}$．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{35}{120}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{63}{120}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{120}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{35}{120}$	$\frac{63}{120}$	$\frac{21}{120}$	$\frac{1}{120}$

EX=$0×\frac{35}{120}+1×\frac{63}{120}+2×\frac{21}{120}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中都是必考题型之一，是中档题．