Question

【题目】已知函数,.

（1）若,函数在区间上的最大值是，最小值是,求的值；

（2）用定义法证明在其定义域上是减函数；

（3）设, 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）分析二次函数的单调性，可得出函数在区间上的最大值，可列出有关、的方程组，即可求出与的值；

（2）任取，作差，利用指数、对数函数的单调性得出差值的正负，从而证明函数在定义域上的单调性；

（3）根据题意得出，根据（1）和（2）中两个函数的单调性，得出这个最值，然后解出不等式可得出的取值范围。

（1）函数的对称轴是.

,所以，函数在区间上是增函数，在区间上

是减函数.

. ①

又分析知, ②联立① ②解得.

（2）函数的定义域为.

设.

因为,

又有，所以，

,即.

所以，函数在其定义域上是减函数.

（3）对任意，不等式恒成立,

.

由(2)知在区间上是减函数,

且.

若,则在区间上是增函数,

,

.

若,则,显然成立;

若,则在区间上是减函数,

,

,.

综上,实数的取值范围是.