Question

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，
求证：（1）四边形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交点在直线AC上。

Answer 1

证明：（1）连结BD， ∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴EH∥BD， 又∵， ∴FG∥BD， 因此EH∥FG且EH≠FG， 故四边形EFGH是梯形； （2）由（1）知EF，HG相交，设EF∩HG=K， ∵平面ABC， ∴K∈平面ABC，同理K∈平面ACD， 又平面平面ACD=AC， ∴K∈AC，故FE和GH的交点在直线AC上。