Question

【题目】已知函数， 且.

（Ⅰ）当时，令， 为常数，求函数的零点的个数；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)首先对函数求导，然后结合导函数与原函数的关系可得：

当时，函数有一个零点；

当时,函数没有零点；

当时,函数有两个零点.

(2)首先求解 ，据此分类讨论求解函数的最小值，最后结合恒成立的条件可求得实数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）当时， ，

所以

令，解得或（舍去）

当时， ，所以在上单调递减

当时， ，所以在上单调递增

所以是的极小值点， 的最小值为

当，即时，函数有一个零点

当，即时,函数没有零点

当，即时,函数有两个零点

（Ⅱ）由已知

令，解得.

由于

①若，则，故当时， ，因此在上单调递减，所以，又因为

则不成立

②若，则，故当时， ；当时， ，即在上单调递减，在上单调递增

所以

因为，所以

则

因此当时， 恒成立

③若，则，故当时， ，因此在上单调递增，

故，令，化简得

解得，所以

综上所述，实数的取值范围是