Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC₁的中点，直线AP与平面BCC₁B₁成30°角．
（1）求异面直线BC₁和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2）求点C到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成的角，进而求出长方体的高，再结合余弦定理求出∠D₁AP的余弦值即可；
（2）直接根据VC1-BCD=VC-BDC1即体积相等即可得到结论．

解答：（本题满分12分）
解：（1）连接BP，设长方体的高为h，
因为AB⊥平面BCC₁B₁，
所以，∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成的角．…（2分）
PB=

h2 4 +4

，由tan600=

h2 4 +4

2

得h=4

2

．…（4分）
又因为AD₁∥BC₁，所以∠D₁AP是异面直线BC₁和AP所成的角…（5分）
在△D₁AP中，AD₁=6，PA=4，D1P=2

3

，…（6分）
所以，cos∠D1AP=

16+36-12

2•4•6

=

5

6

，
即∠D1AP=arccos

5

6

…（8分）
（2）设点C到平面BC₁D的距离为d，
∵BD=2

2

，BC₁=DC₁=6，
∴S△C1BD=

1

2

×2

2

×

34

=2

17

，…（10分）
由VC1-BCD=VC-BDC1，
得

1

3

×

1

2

×2×2×4

2

=

1

3

×2

17

d，
d=

4 2

17

=

4 34

17

．      
故点C到平面BC₁D的距离为

4 34

17

．…（12分）

点评：本题主要考查直线与直线所成的角以及点到面的距离计算．一般在求点到面的距离时，常用体积相等来求．