Question

【题目】已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于,两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）根据椭圆定义求出，即可求出椭圆的标准方程；

（2）假设满足条件的直线存在，与椭圆方程联立，求出直线满足的条件，根据已知条件在线段的垂直平分线上，结合直线的斜率公式，推导出直线不存在.

（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，

所以.由椭圆定义可得,

解得,所以

所以椭圆的标准方程为

（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，

由得，即

，

，

解得

设，，则,,

由于，设线段的中点为，则，

所以又，

所以，解得.

当时，不满足.

所以不存在满足条件的直线.