Question

【题目】已知，函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若是的极小值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值为，从而可证明出所证不等式成立；

（2）分、和三种情况讨论，分析函数的导函数在附近符号的变化，结合条件“是的极小值点”，可得出实数的取值范围.

（1）若，.

设函数，则.

当时，，当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减.

所以在上，.

又因为当时，，所以当时，；

（2）（i）若，由（1）可知当时，，这与是的极小值点矛盾.

（ii）若，对于方程，因为，且，

故方程有两个实根、，且满足.

当时，，

结合（1），可得.

这与是的极小值点矛盾.

（iii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，所以是的极小值点等价于是的极小值点.

.

由得，或.

如果，则当时，，当且时，，所以不是的极小值点.

如果，则当时，，所以不是的极小值点.

如果，则当时，，当时，，所以是的极小值点，从而是的极小值点，此时.

综上所述，的取值范围是.