Question

【题目】如图，四棱锥中，，点在底面上的射影为线段的中点．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，可行证线线平行，或证面面平行，本题中是中点，因此我们再取中点，则有，按题意应该有平面平面，在梯形中可证，从而可证明此面面平行的结论，得线面平行；（2）要求二面角，可用几何方法，实际上可证是二面角的平面角，然后解三角形可得，也可以考虑，由点在底面上的射影为线段的中点，且，则，从而以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角，要注意此二面角是钝角．

试题解析：解法一：

（1）取中点为，连，则由题意知

，则面面，

则面

（2）因点在底面上的射影为线段的中点，

且，

故，

于是，

又由面，

故面，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴为所求二面角的平面角

在中，，

∴

解法二：（1）如图，

由点在底面上的射影为线段的中点，且

，则，

以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则

则，

∴为面的一个法量，

∴，则面

（2），设面的一个法向量为，

由，即，取

同理，面的一个法向量为

设是二面角的平面角，易见与互补，

故，

所以二面角的平面角的余弦值为