Question

关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的命题：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-

2

）是极小值，f（

2

）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是（　　）

A．①②

B．.①②③

C．.②③

D．.?①③

Answer 1

分析：①由于e^x＞0，所以f（x）＞0由2x-x²＞0求得，进行判定正误．
②③对f（x）求导，利用单调性与导数关系，得出f（x）的单调性，从而得出极值、最值情况，判断正误．．

解答：解：①由于e^x＞0，所以f（x）＞0即须2x-x²＞0解得{x|0＜x＜2}；①正确．
②∵f（x）=（x²-2x）e^x的定义域是R，
f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
∴令f′（x）=0，得x=-

2

，x=

2

．
列表：

x	（-∞，- 2	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以f（-

2

）是极小值，f（

2

）是极大值；②正确．
f（x）既无最大值，也无最小值．③错误．
故选A．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，是基础题．不等式求解，考查转化、计算能力．