Question

关于函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x有下面有五个命题，其中真命题的序号是

①②

．①最小正周期是π；    ②向右平移

π

4

可以得到y=sin2x的图象；③在[0，

π

2

]上是增函数； ④同一坐标系中，和函数y=x的图象有三个公共点．

Answer 1

分析：把函数解析式利用平方差公式化简后，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数最小正周期，即可对选项①作出判断；
利用平移规律“左加右减”，对函数解析式进行变形，得到平移后函数解析式，即可作出判断；
根据余弦函数的单调性，对已知的区间进行判断，发现函数在此区间为减函数，本选项为假命题；
设出g（x）=f（x）-x，求出导函数g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调性，根据单调性求出函数g（x）的最小值，即可得到原函数与y=x图象交点的个数，进而作出判断．

解答：解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，故选项①为真命题；
把f（x）=cos2x向右平移

π

4

后，
其解析式为y=cos2（x-

π

4

）=cos（2x-

π

2

）=cos（

π

2

-2x）=sin2x，故选项②为真命题；
∵0≤2x≤π，即0≤x≤

π

2

时，余弦函数cos2x为减函数，故选项③为假命题；
设g（x）=cos2x-x，求导得g′（x）=-2sin2x-1，
当2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]时，sin2x∈[0，1]，g′（x）＜0，函数g（x）单调减；
当2x∈[-π，0]，即x∈[-

π

2

，0]时，sin2x∈[-1，0]，g′（x）＞0，函数g（x）单调增，
故g（x）的最小值为g（0）=1，同一坐标系中，和函数y=x的图象有一个公共点，故选项④为假命题，
则其中真命题的序号为①②．
故答案为：①②

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的单调性，利用导数研究函数的单调性及最值以及函数的平移规律，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．