题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠DAB=60°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，PD⊥底面ABCD，M为PC的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=
| ||
| 2 |
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，先证明BD⊥底面PDC，然后利用线面垂直的性质证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得BD=
=
，
∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=
，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，
以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：
则D（0，0，0），B（
，0，0），P（0，0，
），M（0，1，
），
则
=(
，0，0)，
=(0，1，
)，
=(0，-2，
)，
=(
，-2，0)，
设平面BDM的法向量为
=(x，y，z)，则
，
即
，令z=
，则y=-2，可取向量
=(0，-1，
)，
同理设平面BMP的法向量为
=(a，b，c)，则
，
可得
=(
，1，
)，
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
∴求二面角D-BM-P的余弦值为
．
| 12+22-2×1×2cos?60? |
| 3 |
∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=
| 2 |
以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：
则D（0，0，0），B（
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
则
| DB |
| 3 |
| DM |
| ||
| 2 |
| CP |
| 2 |
| CB |
| 3 |
设平面BDM的法向量为
| m |
|
即
|
| 2 |
| m |
| 2 |
同理设平面BMP的法向量为
| n |
|
可得
| n |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
| 1 | ||||||
|
| ||
| 3 |
∴求二面角D-BM-P的余弦值为
| ||
| 13 |
点评：本题主要考查线面垂直的性质，以及空间二面角的大小，利用向量法是解决空间角的基本方法．
练习册系列答案
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