Question

13．已知函数f（x）=kx（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），与函数g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}}$，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=x对称，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{e}$，e]
• B． [-$\frac{2}{e}$，2e]
• C． $（-\frac{2}{e}，2e）$
• D． $[-\frac{3}{e}，3e]$

Answer 1

分析 求出g（x）的反函数h（x），则g（x）与f（x）的图象在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交点，借助函数图象及导数的几何意义即可求出k的范围．

解答 解：g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）^x关于直线y=x的对称函数为h（x）=log${\;}_{{e}^{-\frac{1}{2}}}$x=-2lnx，
则y=h（x）与y=f（x）=kx在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交点，
作出y=h（x）与y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的函数图象如图所示：

设y=k₁x经过点（$\frac{1}{e}$，2），则k₁=2e，
设y=k₂x与h（x）=-2lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{{x}_{0}}={k}_{2}}\\{{k}_{2}{x}_{0}=-2ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，k₂=-$\frac{2}{e}$．
∴$-\frac{2}{e}$≤k≤2e．
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，将对称问题转化为交点问题是解题关键，属于中档题．